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数学分析中的极限定理证明

来源:www.jycl888.com 时间:2024-06-12 05:20:30 作者:科学分析网 浏览: [手机版]

数学分析是数学中的一门重学科,其中极限定理是其中的基础内容之一科学分析网www.jycl888.com。在数学分析中,极限定理是指在一定条件下,函数的极限值可以通对函数的极限操作得到。在本文中,我们将介绍一些常见的极限定理,并给出其证明程。

数学分析中的极限定理证明(1)

1. 夹逼定理

  夹逼定理是指如果一个函数在某一点附被夹在两个函数之,那么这个函数的极限值就等于这两个函数的极限值。具体说,如果函数f(x)在x=a的某一邻域内,足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),并且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L,则有limx→a f(x) = L。

  证明程如下:

由于g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),所以对于意的ε > 0,存在δ1 > 0,使得当0 < |x - a| < δ1时,有g(x) - L < ε/2,h(x) - L < ε/2。

因此,当0 < |x - a| < δ1时,有g(x) - ε/2 < L < h(x) + ε/2科+学+分+析+网

  又因为limx→a g(x) = limx→a h(x) = L,所以对于意的ε > 0,存在δ2 > 0,使得当0 < |x - a| < δ2时,有|g(x) - L| < ε/2,|h(x) - L| < ε/2。

  取δ = min(δ1, δ2),则当0 < |x - a| < δ时,有g(x) - ε/2 < L < h(x) + ε/2,且|g(x) - L| < ε/2,|h(x) - L| < ε/2。

  因此,对于意的ε > 0,存在δ > 0,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε,即limx→a f(x) = L。

数学分析中的极限定理证明(2)

2. 单调有界定理

  单调有界定理是指如果一个函数单调增(或)且有上(或下)界,那么这个函数必定收敛。具体说,如果函数f(x)单调增(或)且有上(或下)界,则f(x)必定收敛。

  证明程如下:

  假设f(x)单调增且有上界M,则对于意的x,有f(x) ≤ MaIi

  由于f(x)单调增,所以对于意的x1 < x2,有f(x1) ≤ f(x2)。

  因此,对于意的x1 < x2,有f(x1) ≤ f(x2) ≤ M。

因此,f(x)在x → +∞时有一个上界M,因此存在一个收敛的数L,使得limx→+∞ f(x) = L。

  同理,如果f(x)单调且有下界m,则f(x)必定收敛。

数学分析中的极限定理证明(3)

3. 柯西收敛定理

  柯西收敛定理是指如果一个函数f(x)的意两个子序列收敛于同一个极限值,那么这个函数必定收敛。具体说,如果函数f(x)的意两个子序列limn→∞ an = limn→∞ bn = L,则f(x)必定收敛,并且limx→∞ f(x) = L科+学+分+析+网

证明程如下:

  对于意的ε > 0,由于limn→∞ an = L,所以存在N1 > 0,使得当n > N1时,有|an - L| < ε/2。

  同理,由于limn→∞ bn = L,所以存在N2 > 0,使得当n > N2时,有|bn - L| < ε/2。

  取N = max(N1, N2),则当n > N时,有|an - L| < ε/2,|bn - L| < ε/2。

  因此,当n > N时,有|an - bn| ≤ |an - L| + |bn - L| < ε。

  因此,对于意的ε > 0,存在N > 0,使得当n > N时,有|an - bn| < ε,即an和bn是柯西序列。

由于f(x)的意两个子序列收敛于同一个极限值L,所以f(x)必定收敛,并且limx→∞ f(x) = L原文www.jycl888.com

4. 曼定理

  曼定理是指如果一个函数在某一点的极限存在,那么这个函数在这一点必定连续。具体说,如果函数f(x)在x=a的某一邻域内有limx→a f(x) = L,则f(x)在x=a处连续。

证明程如下:

  对于意的ε > 0,由于limx→a f(x) = L,所以存在δ > 0,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε/2。

因此,对于意的x,当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - f(a)| ≤ |f(x) - L| + |L - f(a)| < ε。

  因此,f(x)在x=a处连续。

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